cours

Les opérations usuelles

I | L'addition

A) Principes

Principe : on effectue une addition lorsqu’on ajoute des chiffres ou des nombres afin d’obtenir un total ou une somme.

Ecriture : on utilise le signe « + ».

Exemple : ajouter la quantité 2 à la quantité 5 s’écrit 2 + 5.

B) Poser une addition

Le principe est de repérer dans chaque nombre le chiffre des unités, des dizaines, des centaines etc. Ensuite lorsque l’on superpose les deux quantités à additionner, il faut que les chiffres des unités, des dizaines… soient superposés.

Exemple

Additionnons 257 et 36

Les chiffres 7 et 6 doivent être l’un en dessous de l’autre. Même chose pour les chiffres 5 et 3.

On a le schéma suivant :

C) Résoudre une addition

Le principe est d’additionner tous les chiffres d’une colonne en commençant par celle de droite.

En additionnant une colonne, deux cas peuvent se produire :

  • le résultat est inférieur à 10. Dans ce cas, on note le résultat obtenu en bas de la colonne.
  • le résultat est supérieur à 9. Dans ce cas, on note le chiffre des unités en bas de la colonne et on note le chiffre des dizaines en haut de la colonne suivante.

Ce chiffre des dizaines est appelé « la retenue ».

On répète cet exercice colonne par colonne jusqu’à la dernière.

Le résultat obtenu en additionnant les chiffres de la dernière colonne est noté en bas (et ce même s’il est supérieur à 9).

Exemple

On commence donc par additionner les chiffres de la première colonne : 7 + 6 = 13.

Le résultat est supérieur à 9 ! On note donc 3 en bas de la colonne et « on retient » 1 en haut de la deuxième colonne.

Ensuite, on additionne la retenue et les chiffres de la deuxième colonne : 1 + 5 + 3 = 9.

Le résultat est inférieur à 10 donc on note 9 en bas de la deuxième colonne et on ne pose pas de retenue.

Il nous reste à additionner les chiffres de la troisième colonne. 2 étant l’unique chiffre, on note donc 2 en bas de la troisième colonne :

Exemple

On additionne les chiffres de la première colonne : 7 + 6 + 2 = 15. On note donc le chiffre des unités (5) en bas de la première colonne et « on retient 1 » en haut de la deuxième colonne.

Ensuite, on additionne les chiffres de la deuxième colonne ainsi que la retenue : 1 + 5 + 5 + 1 = 12. On note donc le chiffre 2 en bas de la deuxième colonne et on « retient » 1 en haut de la troisième colonne.

On additionne les chiffres de la troisième colonne ainsi que la retenue : 1 + 4 + 4 + 1 = 10. On note le chiffre 0 en bas de la troisième colonne et on marque la retenue 1 en haut de la quatrième colonne.

On additionne le chiffre de la quatrième colonne ainsi que la retenue : 1 + 2 = 3.

On a donc le résultat suivant :

II | La soustraction

A) Principes

Principe :Une soustraction consiste à enlever une quantité à une autre quantité. Pour simplifier, disons que la soustraction « est le contraire » de l’addition.

Vocabulaire : le résultat d’une soustraction est appelé une différence.

Ecriture : on utilise le signe « - ». Ainsi soustraire la quantité 4 à la quantité 8 s’écrit : 8 - 4.

B) Poser une soustraction

Le principe est le même que pour une addition. Lorsque l’on superpose les deux quantités à soustraire, il faut que les chiffres des unités, des dizaines… soient superposés.

C) Résoudre une soustraction

Le principe de la soustraction est de soustraire les chiffres colonne par colonne en commençant par la colonne de droite.

Lorsque l’on soustrait les chiffres d’une colonne, deux cas de figure peuvent se présenter :

  • Le résultat est positif. Dans ce cas, on note le résultat de la soustraction en bas de la colonne.
  • Le résultat est négatif (inférieur à 0). Dans ce cas, on ajoute 10 au chiffre le plus en haut (on note cette opération en mettant une retenue devant le chiffre). On compense en ajoutant une retenue (de valeur 1) dans la colonne suivante au niveau du chiffre le plus en bas.
Exemple

On soustrait les chiffres de la première colonne : 7 - 6 = 1. Le résultat 1 étant supérieur à 0, on note donc 1 en bas de la première colonne.

On soustrait en suite les chiffres de la deuxième colonne : 5 - 5 = 0. Le résultat étant égal à 0, on note donc 0 en bas de la deuxième colonne.

Pour finir, on soustrait les chiffres de la troisième colonne : 4 - 0 = 4. On obtient le résultat suivant :

Exemple

On soustrait le premier chiffre de la colonne de droite aux autres chiffres de la même colonne : 7 - 5 - 3 = - 1.

Le résultat étant négatif, on est obligé de répéter la même opération mais en ajoutant 10 au chiffre 7. On compense cet ajout par une retenue à gauche du chiffre 1 dans la deuxième colonne. On a donc : (10 + 7) – 5 – 3 = 9.

On soustrait le premier chiffre de la deuxième colonne aux autres chiffres de la même colonne, plus la retenue : 5 - 6 - 1 - 1 = -3. Le résultat étant négatif, on est obligé de répéter la même opération mais en rajoutant 10 au chiffre 5. On compense cet ajout par une retenue à gauche du chiffre 1 dans la troisième colonne. On a donc : 10 + 5 - 6 - 1 - 1 = 7.

On répète la même opération que pour les étapes précédentes : 4 - 5 - 1 - 1 = - 3. De même, on ajoute 10 au chiffre 4 (et une retenue dans la quatrième colonne) et on a l’opération suivante : 10 + 4 - 5 - 1 - 1 =  7. On soustrait le chiffre en haut de la quatrième colonne à la retenue de la même colonne : 2 - 1 = 1.

III | La multiplication

A) Principes

Principes :La multiplication de nombres entiers peut être vue comme des additions successives. Par exemple, « 3 fois 4 » peut se voir comme la somme de trois nombres 4.

Vocabulaire : le résultat d’une multiplication est appelé un produit.

Ecriture : on utilise le signe « × ». Ainsi multiplier la quantité 4 à la quantité 8 s’écrit 4 × 8.

B) Poser une multiplication

Le principe est le même que pour une addition ou une soustraction. Lorsque l’on superpose les deux quantités à multiplier, il faut que les chiffres des unités, des dizaines… soient superposées.

Exemple

Si on veut multiplier 345 et 27 on devra écrire :

C) Résoudre une multiplication avec des nombres entiers

Utilisons un exemple pour expliquer le fonctionnement de la multiplication.

Etape 1

On prend le chiffre des unités de la seconde quantité (dans notre exemple 7). On le multiplie successivement avec le chiffre des unités, des dizaines, des centaines… de la première quantité (dans notre exemple successivement 5, 4 puis 3).

A chaque multiplication, deux cas de figure peuvent se présenter :

  • le résultat de la multiplication est inférieur à 10. Dans ce cas, on note tout simplement le résultat en bas de la colonne.
  • le résultat de la multiplication est supérieur à 9. Dans ce cas, on note le chiffre des unités du résultat obtenu en bas de la colonne. Puis, on met une retenue – égale au chiffre des dizaines du résultat – en haut de la colonne suivante.

Dans notre exemple, on commence par faire : 7 × 5 = 35. On note 5 en bas la première colonne et on retient 3 en haut de la deuxième colonne.

Puis on multiplie 7 par 4 et on additionne le résultat à la retenue : 7 × 4 + 3 = 28 + 3 = 31. On note donc 1 en bas de la colonne et on retient 3 en haut de la troisième colonne.

Lorsqu’on arrive à la dernière multiplication, on note le résultat en bas de la colonne, même si celui-ci est supérieur à 9.

Dans notre exemple, on multiplie 7 par 3 et on additionne le résultat à la retenue :7 × 3 + 3 = 21 + 3 = 24. On note donc 24 en bas de la colonne.

Etape 2

Pour la suite, on doit poser un 0 tout en bas de la première colonne.

Puis on multiplie le chiffre des dizaines de la seconde quantité (dans notre exemple 2). On le multiplie successivement avec le chiffre des unités, des dizaines, des centaines… de la première quantité (dans notre exemple, successivement 5, 4 puis 3).

2 × 5 = 10. On pose 0 en bas de la deuxième colonne (et non plus la première car on a déjà un 0 de marqué) et on retient 1 en haut de cette même colonne.

Puis on multiplie 2 par 4 et on additionne la retenue au résultat trouvé : 2 × 4 + 1 = 9. Comme 9 est inférieur à 10, on note seulement le chiffre 9 en bas de la troisième colonne.

Puis on multiplie 2 par 3 : 2 × 3 = 6. On marque 6 en dessous de la quatrième colonne.

Etape 3

Une fois toutes les multiplications effectuées, il faut sommer les lignes obtenues pour obtenir le résultat de la multiplication. Or 2 415 + 6 900 = 9 315.

D) Résoudre une multiplication avec un ou deux nombres décimaux

Le fonctionnement est le même que pour la multiplication des nombres entiers.

On procède sans tenir compte des virgules.

Une fois le résultat obtenu, on place la virgule en utilisant la méthode suivante :

« Nombre de chiffres après la virgule dans le premier terme » + « Nombre de chiffres après la virgule dans le seconde terme » = « Nombre de chiffres après la virgule dans le résultat ».

Exemple : multiplions 7,6 par 1,8

7,6 possède un chiffre après la virgule.

1,8 possède un chiffre après la virgule.

Donc le résultat aura deux chiffres après la virgule.

IV | La division

A) Principes

Principes : diviser une quantité A par une quantité B revient à séparer la quantité A en B parts égales. Par exemple, diviser 8 par 2 revient à cherche le nombre de parts de 2 dans 8.

Ecriture : pour une division, on utilise le signe « ÷ ». Ainsi diviser 8 par 2 s’écrit : 8 ÷ 2.

Vocabulaire : supposons que l’on divise 8 par 2. Dans ce cas, 8 est appelé le dividende, 2 est appelé le diviseur. Le résultat de la division est appelé le quotient.

B) Poser une division de nombres entiers

Traçons une ligne verticale. A gauche de cette ligne, notons le chiffre/nombre qui va être divisé (appelé le dividende). A droite, notons le chiffre/nombre qui divise (appelé le diviseur).

Sous le diviseur, ajoutons une ligne horizontale. Sous cette ligne sera noté le résultat de la division (appelé le quotient). Le reste éventuel de la division est noté dans la partie gauche tout en bas.

Exemple : divisons 10 par 4. Le quotient sera 2 et le reste sera 2. 10 = 4 × 2 + 2.

C) Poser une division de nombres décimaux

Le principe est de travailler avec des nombres sans virgules. Pour cela on utilise la propriété suivante:

Propriété

Si on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre, on ne modifie pas le résultat de la division.

Ainsi, il vous faudra multiplier le diviseur et le dividende par des puissances de 10 afin de faire disparaître la virgule.

Par exemple, divisons 25 par 2,45. Il faut ainsi "enlever" la virgule dans 2,45. Multiplions donc 2,45 par 100 : 2,45 × 100 = 245.

Pour préserver l'équivalence, il faut donc multiplier 25 par 100. 25 × 100 = 2500.

Ainsi, on travaillera avec la division suivante : 2500 divisé par 245.

D) Résoudre une division

Prenons un exemple type.

Etape 1

On prend le premier chiffre du dividende et on se pose la question suivante : "en 1, combien de fois on compte 5 ?".

  • Si le résultat est plus grand que 0 on écrit ce résultat sous le 5.
  • Sinon on se pose de nouveau la question en utilisant cette fois les deux premiers chiffres du nombre de gauche : "en 15, combien de fois on compte 5 ?".

Dans notre cas, on prend donc le nombre 15 pour le dividende. En 15, on dénombre 3 fois le chiffre 5. On marque donc 5 au niveau du quotient.

Etape 2

On multiplie le résultat obtenu (3) par le diviseur (5). On écrit le résultat (15) sous les deux chiffres qui ont été sélectionné à l'étape 1. On effectue la soustraction des deux, ce résultat étant le reste.

Dans ce cas, le reste est égal à 0.

Etape 3

On abaisse le chiffre à droite des deux premiers chiffres du dividende (ici le 5). Avec ce chiffre, on effectue de nouveau les étapes 1 et 2.

En 5, on compte une fois le chiffre 5. Puis on effectue la soustraction.

Etape 4

On reproduit le même procédé pour le dernier chiffre en se posant la question suivante : "en 0 combien de fois 5". Comme c'est le dernier chiffre du dividende, on est obligé de mettre 0.

Le quotient de la division est donc 310 et son reste 0.

1550 = 5 × 310 + 0

E) Exemple de résolution de division

Combien de fois compte-t-on 20 dans 2. Le résultat est inférieur à 0 donc on prendre les deux premiers chiffres du dividende : on compte 1 fois 20 dans 25.

25 - 20 = 5. Puis on abaisse le 7.

Combien de fois compte-t-on 20 dans 5. Le résultat est inférieur à 0 donc on prendre les deux chiffres restants du dividende : on compte 2 fois 20 dans 57.

57 = 2 × 20 + 17

Après la soustraction, on obtient 17 au niveau du reste. Puis on abaisse le 4.

Combien de fois compte-t-on 20 dans 174. On compte 8 fois.

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