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Opérations usuelles
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I | Identités remarquables
Définition
Soient a, b et c, trois nombres réels.
On appelle identités remarquables les trois formules suivantes :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² - 2ab + b²
(a – b) (a + b) = a² - b²
Exemple
(2 + 4)² = 2² + 2 × 2 × 4 + 4² = 4 + 16 + 16 = 36
(5 – 7)² = 5² – 2 × 5 × 7 + 7² = 25 – 70 + 49 = 4
(2 – 4) (2 + 4) = 2² – 4² = 4 – 16 = -12
II | Polynôme du second degré
Définition
Soient a, b et c, les coefficients du polynôme, avec a ≠ 0.
Soit x un nombre réel.
On appelle polynôme du second degré : ax² + bx + c.
Application à connaître : résolutions d'une équation du second degré ax² + bx + c = 0.
1. Calcul du discriminant
Notons ∆ le discriminant de l’équation.
∆ = b² – 4ac
2. Trois scénarios
- Soit ∆ > 0
Dans ce cas, l’équation admet deux solutions que l’on note $x_1$ et $x_2$ :
$x_1 = \frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$
$x_2 =\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$
- Soit ∆ = 0
Dans ce cas, l’équation admet une unique solution :
$\frac{-b}{2a}$
- Soit ∆ < 0
Dans ce cas, l’équation n’admet aucune solution.
Exemple
Résolvons l’équation 2x² - 5x + 3 = 0
∆ = 5² – 4 × 2 × 3 = 25 - 24 = 1² > 0.
Donc l'équation admet deux solutions :
III | Développement et factorisation
Définition
Définition d'un développement
Développer signifie transformer un produit en une somme ou une différence.
Soient a et b et k trois nombres réels.
Si l’on développe l’expression k × (a + b) on obtient : k × a + k × b
Exemple
4 × (13 - 3) = 4 × 13 - 4 × 3 = 52 - 12 = 40.
(12 - 3) × (7 - 2) = 12 × 7 - 12 × 2 - 3 × 7 + 3 × 2 = 84 - 24 - 21 + 6 = 45
Définition
Définition d'une factorisation
Factoriser signifie transformer une somme ou une différence en un produit.
Soient a et b et k trois nombres réels.
Si l’on factorise l’expression k × a + k × b on obtient : k × (a + b)
Exemple
3 × 11 - 3 × 14 = 3 × (11 - 14) = 3 × (-3) = -9
(x - 2)(y - 5) + (x - 2)(6 + y) = (x - 2)(y - 5 + 6 + y) = (x - 2)(2y + 1)
IV | Fractions
Définition
Soient a et b deux nombres entiers, avec b ≠ 0.
On appelle fraction l’écriture : $\frac{a}{b}$
a est appelé le numérateur et b le dénominateur.
Propriété
Soient a, b, c et d, des nombres entiers non nuls.
On a :
Propriété
Soient a, b et c, des nombres entiers non nuls. On a :
$c = a \times b \iff a = \frac{c}{b}$
$c = a \times b \iff b = \frac{c}{a}$
$c = a \times b \iff \frac{a}{c} = \frac{1}{b}$
$c = a \times b \iff \frac{b}{c} = \frac{1}{a}$
Manipulations à connaître
- $\frac{a}{b} + \frac{y}{z} = \frac{a \times z + b \times y}{b × z}$
- $a \times \frac{y}{z}= \frac{a \times y}{z}$
- $\frac{a}{b} \times \frac{y}{z}= \frac{a \times y}{b \times z}$
- $\frac{1}{\frac{1}{a}}=a$
- $\frac{\frac{a}{b}}{y}= \frac{a}{b \times y}= \frac{a}{b} \times \frac{1}{y}$
- $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{y}{z}}= \frac{a}{b} \times \frac{z}{y}$
V | Simplifier une fraction
Définition
Simplifier une fraction consiste à manipuler une fraction afin d’en obtenir une autre avec un numérateur et un dénominateur qui sont les plus petits possibles.
Propriété
On ne change pas la valeur d’une fraction si l’on divise ou multiplie le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
Exemple
$\frac{25}{10}=\frac{5 \times 5}{2 \times 5}= \frac{5}{2}$
$\frac{15}{60}= \frac{3 \times 5}{12 \times 5}= \frac{1 \times 3}{4 \times 3}= \frac{1}{4}.$
VI | Puissances
Définition
Soient a un entier naturel et n un entier naturel.
On appelle « A puissance n » ou « A exposant n », l’expression suivante :
$A^n = A \times A \times A \times … \times A$ (n fois)
Le carré est une puissance de 2.
Le cube est une puissance de 3.
Propriété
Soient A, B et C des nombres réels non nuls. Soient n et p des entiers naturels.
$A^0=1$
$A^{-n} = \frac{1}{A^n} $
$A^n×A^p=A^{n+p}$
$\frac{A^n}{A^p} =A^{n-p}$
$(A^n )^p=A^{n×p}$
$\frac{A^n}{B^n} =(\frac{A}{B})^n$
$\sqrt{A}=A^{1/2}$ avec A>0
$A^n×B^n×C^n={(A×B×C)}^n$
$A^n×A^{-n}=1$
VII | Racines carrées
Définition
La racine carré d’un nombre réel positif a est le nombre positif dont le carré vaut a.
Soient x et y deux nombres réels positifs non nuls et z un nombre réel quelconque.
- $(\sqrt z)²=z$ si z est positif ou -z si z est négatif
- $\sqrt x \times \sqrt y= \sqrt {x \times y}$
- $\frac{\sqrt x}{\sqrt y}= \sqrt{\frac{x}{y}}$
- $(\sqrt x)^n = x^{\frac{n}{2}}$
- $\sqrt{x+y} ≤ \sqrt x+ \sqrt y$
Racines carrées à connaître par cœur :
$\sqrt 2 ≈1,414$
$\sqrt3≈1,732$
$\sqrt5≈2,236$
$\sqrt7≈2,646$
$\sqrt10≈3,162$
Remarque
Soit deux nombres réels : x et y.
L’égalité x² = y est équivalente à :
$x = \sqrt y$ ou $x = -\sqrt y$
Exemple
$x^2 = 9$.
Dans ce cas, $x = 3$ ou $x = -3$.
VIII | Racines cubiques
Définition
Soient x et y deux nombres réels.
On appelle racine cubique de y, l’unique nombre réel x dont le cube vaut y.
C’est-à-dire : $y = x^3$.
La racine cubique de y est notée $\sqrt[3]{y}.$
