NON FAIT

COURSOpérations usuelles

60 minutes.

I | Identités remarquables

Définition

Soient a, b et c, trois nombres réels.

On appelle identités remarquables les trois formules suivantes :

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a – b)² = a² - 2ab + b²

(a – b) (a + b) = a² - b²

Exemple

(2 + 4)² = 2² + 2 × 2 × 4 + 4² = 4 + 16 + 16 = 36

(5 – 7)² = 5² – 2 × 5 × 7 + 7² = 25 – 70 + 49 = 4

(2 – 4) (2 + 4) = 2² – 4² = 4 – 16 = -12

II | Polynôme du second degré

Définition

Soient a, b et c, les coefficients du polynôme, avec a ≠ 0.

Soit x un nombre réel.

On appelle polynôme du second degré : ax² + bx + c.

Application à connaître : résolutions d'une équation du second degré ax² + bx + c = 0.

1. Calcul du discriminant

Notons ∆ le discriminant de l’équation.

∆ = b² – 4ac

2. Trois scénarios

Soit ∆ > 0

Dans ce cas, l’équation admet deux solutions que l’on note $x_1$ et $x_2$ :

$x_1 = \frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$

$x_2 =\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$

Soit ∆ = 0

Dans ce cas, l’équation admet une unique solution :

$\frac{-b}{2a}$

Soit ∆ < 0

Dans ce cas, l’équation n’admet aucune solution.

Exemple

Résolvons l’équation 2x² - 5x + 3 = 0

∆ = 5² – 4 × 2 × 3 = 25 - 24 = 1² > 0.

Donc l'équation admet deux solutions :

$\frac{-(-5) +\sqrt1}{2\times2}=\frac{6}{4}=1,5$

$\frac{-(-5) -\sqrt1}{2\times2}=\frac{4}{4}=1$

III | Développement et factorisation

Définition

Définition d'un développement

Développer signifie transformer un produit en une somme ou une différence.

Soient a et b et k trois nombres réels.

Si l’on développe l’expression k × (a + b) on obtient : k × a + k × b

Exemple

4 × (13 - 3) = 4 × 13 - 4 × 3 = 52 - 12 = 40.

(12 - 3) × (7 - 2) = 12 × 7 - 12 × 2 - 3 × 7 + 3 × 2 = 84 - 24 - 21 + 6 = 45

Définition

Définition d'une factorisation

Factoriser signifie transformer une somme ou une différence en un produit.

Soient a et b et k trois nombres réels.

Si l’on factorise l’expression k × a + k × b on obtient : k × (a + b)

Exemple

3 × 11 - 3 × 14 = 3 × (11 - 14) = 3 × (-3) = -9

(x - 2)(y - 5) + (x - 2)(6 + y) = (x - 2)(y - 5 + 6 + y) = (x - 2)(2y + 1)

IV | Fractions

Définition

Soient a et b deux nombres entiers, avec b ≠ 0.

On appelle fraction l’écriture : $\frac{a}{b}$

a est appelé le numérateur et b le dénominateur.

Propriété

Soient a, b, c et d, des nombres entiers non nuls.

On a :

$\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d} \iff a\times d +b\times c$

Propriété

Soient a, b et c, des nombres entiers non nuls. On a :

$c = a \times b \iff a = \frac{c}{b}$

$c = a \times b \iff b = \frac{c}{a}$

$c = a \times b \iff \frac{a}{c} = \frac{1}{b}$

$c = a \times b \iff \frac{b}{c} = \frac{1}{a}$

Manipulations à connaître

$\frac{a}{b} + \frac{y}{z} = \frac{a \times z + b \times y}{b × z}$
$a \times \frac{y}{z}= \frac{a \times y}{z}$
$\frac{a}{b} \times \frac{y}{z}= \frac{a \times y}{b \times z}$
$\frac{1}{\frac{1}{a}}=a$
$\frac{\frac{a}{b}}{y}= \frac{a}{b \times y}= \frac{a}{b} \times \frac{1}{y}$
$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{y}{z}}= \frac{a}{b} \times \frac{z}{y}$

V | Simplifier une fraction

Définition

Simplifier une fraction consiste à manipuler une fraction afin d’en obtenir une autre avec un numérateur et un dénominateur qui sont les plus petits possibles.

Propriété

On ne change pas la valeur d’une fraction si l’on divise ou multiplie le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

Exemple

$\frac{25}{10}=\frac{5 \times 5}{2 \times 5}= \frac{5}{2}$

$\frac{15}{60}= \frac{3 \times 5}{12 \times 5}= \frac{1 \times 3}{4 \times 3}= \frac{1}{4}.$

VI | Puissances

Définition

Soient a un entier naturel et n un entier naturel.

On appelle « A puissance n » ou « A exposant n », l’expression suivante :

$A^n = A \times A \times A \times … \times A$ (n fois)

Le carré est une puissance de 2.

Le cube est une puissance de 3.

Propriété

Soient A, B et C des nombres réels non nuls. Soient n et p des entiers naturels.

$A^0=1$

$A^{-n} = \frac{1}{A^n} $

$A^n×A^p=A^{n+p}$

$\frac{A^n}{A^p} =A^{n-p}$

$(A^n )^p=A^{n×p}$

$\frac{A^n}{B^n} =(\frac{A}{B})^n$

$\sqrt{A}=A^{1/2}$ avec A>0

$A^n×B^n×C^n={(A×B×C)}^n$

$A^n×A^{-n}=1$

VII | Racines carrées

Définition

La racine carré d’un nombre réel positif a est le nombre positif dont le carré vaut a.

Soient x et y deux nombres réels positifs non nuls et z un nombre réel quelconque.

$(\sqrt z)²=z$ si z est positif ou -z si z est négatif
$\sqrt x \times \sqrt y= \sqrt {x \times y}$
$\frac{\sqrt x}{\sqrt y}= \sqrt{\frac{x}{y}}$
$(\sqrt x)^n = x^{\frac{n}{2}}$
$\sqrt{x+y} ≤ \sqrt x+ \sqrt y$

Racines carrées à connaître par cœur :

$\sqrt 2 ≈1,414$

$\sqrt3≈1,732$

$\sqrt5≈2,236$

$\sqrt7≈2,646$

$\sqrt10≈3,162$

Remarque

Soit deux nombres réels : x et y.

L’égalité x² = y est équivalente à :

$x = \sqrt y$ ou $x = -\sqrt y$

Exemple

$x^2 = 9$.

Dans ce cas, $x = 3$ ou $x = -3$.

VIII | Racines cubiques

Définition

Soient x et y deux nombres réels.

On appelle racine cubique de y, l’unique nombre réel x dont le cube vaut y.

C’est-à-dire : $y = x^3$.

La racine cubique de y est notée $\sqrt[3]{y}.$