Soient a, b et c, trois nombres réels.
On appelle identités remarquables les trois formules suivantes :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² - 2ab + b²
(a – b) (a + b) = a² - b²
60
minutes.
Soient a, b et c, trois nombres réels.
On appelle identités remarquables les trois formules suivantes :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² - 2ab + b²
(a – b) (a + b) = a² - b²
(2 + 4)² = 2² + 2 × 2 × 4 + 4² = 4 + 16 + 16 = 36
(5 – 7)² = 5² – 2 × 5 × 7 + 7² = 25 – 70 + 49 = 4
(2 – 4) (2 + 4) = 2² – 4² = 4 – 16 = -12
Soient a, b et c, les coefficients du polynôme, avec a ≠ 0.
Soit x un nombre réel.
On appelle polynôme du second degré : ax² + bx + c.
Notons ∆ le discriminant de l’équation.
∆ = b² – 4ac
Dans ce cas, l’équation admet deux solutions que l’on note $x_1$ et $x_2$ :
$x_1 = \frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$
$x_2 =\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$
Dans ce cas, l’équation admet une unique solution :
$\frac{-b}{2a}$
Dans ce cas, l’équation n’admet aucune solution.
Résolvons l’équation 2x² - 5x + 3 = 0
∆ = 5² – 4 × 2 × 3 = 25 - 24 = 1² > 0.
Donc l'équation admet deux solutions :
Définition d'un développement
Développer signifie transformer un produit en une somme ou une différence.
Soient a et b et k trois nombres réels.
Si l’on développe l’expression k × (a + b) on obtient : k × a + k × b
4 × (13 - 3) = 4 × 13 - 4 × 3 = 52 - 12 = 40.
(12 - 3) × (7 - 2) = 12 × 7 - 12 × 2 - 3 × 7 + 3 × 2 = 84 - 24 - 21 + 6 = 45
Définition d'une factorisation
Factoriser signifie transformer une somme ou une différence en un produit.
Soient a et b et k trois nombres réels.
Si l’on factorise l’expression k × a + k × b on obtient : k × (a + b)
3 × 11 - 3 × 14 = 3 × (11 - 14) = 3 × (-3) = -9
(x - 2)(y - 5) + (x - 2)(6 + y) = (x - 2)(y - 5 + 6 + y) = (x - 2)(2y + 1)
Soient a et b deux nombres entiers, avec b ≠ 0.
On appelle fraction l’écriture : $\frac{a}{b}$
a est appelé le numérateur et b le dénominateur.
Soient a, b, c et d, des nombres entiers non nuls.
On a :
Soient a, b et c, des nombres entiers non nuls. On a :
$c = a \times b \iff a = \frac{c}{b}$
$c = a \times b \iff b = \frac{c}{a}$
$c = a \times b \iff \frac{a}{c} = \frac{1}{b}$
$c = a \times b \iff \frac{b}{c} = \frac{1}{a}$
Manipulations à connaître
Simplifier une fraction consiste à manipuler une fraction afin d’en obtenir une autre avec un numérateur et un dénominateur qui sont les plus petits possibles.
On ne change pas la valeur d’une fraction si l’on divise ou multiplie le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
$\frac{25}{10}=\frac{5 \times 5}{2 \times 5}= \frac{5}{2}$
$\frac{15}{60}= \frac{3 \times 5}{12 \times 5}= \frac{1 \times 3}{4 \times 3}= \frac{1}{4}.$
Soient a un entier naturel et n un entier naturel.
On appelle « A puissance n » ou « A exposant n », l’expression suivante :
$A^n = A \times A \times A \times … \times A$ (n fois)
Le carré est une puissance de 2.
Le cube est une puissance de 3.
Soient A, B et C des nombres réels non nuls. Soient n et p des entiers naturels.
$A^0=1$
$A^{-n} = \frac{1}{A^n} $
$A^n×A^p=A^{n+p}$
$\frac{A^n}{A^p} =A^{n-p}$
$(A^n )^p=A^{n×p}$
$\frac{A^n}{B^n} =(\frac{A}{B})^n$
$\sqrt{A}=A^{1/2}$ avec A>0
$A^n×B^n×C^n={(A×B×C)}^n$
$A^n×A^{-n}=1$
La racine carré d’un nombre réel positif a est le nombre positif dont le carré vaut a.
Soient x et y deux nombres réels positifs non nuls et z un nombre réel quelconque.
Racines carrées à connaître par cœur :
$\sqrt 2 ≈1,414$
$\sqrt3≈1,732$
$\sqrt5≈2,236$
$\sqrt7≈2,646$
$\sqrt10≈3,162$
Soit deux nombres réels : x et y.
L’égalité x² = y est équivalente à :
$x = \sqrt y$ ou $x = -\sqrt y$
$x^2 = 9$.
Dans ce cas, $x = 3$ ou $x = -3$.
Soient x et y deux nombres réels.
On appelle racine cubique de y, l’unique nombre réel x dont le cube vaut y.
C’est-à-dire : $y = x^3$.
La racine cubique de y est notée $\sqrt[3]{y}.$