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Principes d'arithmétiques

I | Les chiffres et les nombres

Définition

Définition d'un chiffre

Un chiffre est un signe, ou symbole auquel est associée une valeur numérique. Notre système (appelé le système décimal) est composé de dix chiffres : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 0

Définition

Définition d'un nombre

Un nombre est composé d’un ou plusieurs chiffres. Notez que tous les chiffres sont des nombres mais les nombres ne sont pas tous des chiffres.

II | Les nombres entiers et les nombres décimaux

A) Les entiers naturels

Définition

Les entiers naturels

Ce sont tous les chiffres et nombres sans chiffres après la virgule, 0 compris. On compte une infinité de nombres entiers.

Prenons un nombre au hasard 1 234 567 890. On a les appellations suivantes :

Milliard Centaine de millions Dizaine de millions Million Centaine de milliers Dizaine de milliers Milliers Centaine Dizaine Unités
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

B) Les nombres décimaux

Ce sont tous les nombres qui ont un nombre de chiffres après la virgule limité.

Exemple

- 45,98

4,34812870

Attention

Un nombre comme $\frac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal car son il possède un nombre illimité de chiffres après la virgule. 3,1415926…

III | Comparer des nombres

Comparer deux nombres signifie déterminer lequel est le plus grand (ou le plus petit), ou bien s'ils sont égaux :

  • Si le nombre a est plus petit que le nombre b, on dit que a est strictement inférieur à b et on note a < b.
  • Si le nombre a est plus grand que le nombre b, on dit que a est strictement supérieur à b et on note a > b.
  • Si le nombre a est égal au nombre b, on note a = b.

Ainsi 9 est plus petit que 15 donc 9 est strictement inférieur à 15 et on note 9 < 15.

Remarque

On distingue deux cas :

  • Si le nombre a est plus petit que le nombre b, mais n'est pas égal à b, on dit que a est strictement inférieur à b et on note a < b.
  • Si le nombre a est plus petit que le nombre b, et peut être égal à b, on dit que a est inférieur ou égal à b et on note a ⩽ b.

De même :

  • Si le nombre a est plus grand que le nombre b, mais n'est pas égal à b, on dit que a est strictement supérieur à b et on note a > b.
  • Si le nombre a est plus grand que le nombre b, et peut être égal à b, on dit que a est supérieur ou égal à b et on note a ⩾ b.

IV | Arrondir un nombre

Arrondir un nombre décimal consiste à « couper » ce nombre en un point précis, imposé par l’énoncé, en tenant compte des chiffres situés après cette troncature.

Pour arrondir un nombre, procédez aux étapes suivantes :

  • Étape 1 : marquez à l’aide d’un trait (par exemple), l’endroit précis où vous allez « couper » le nombre.
  • Étape 2 : coupez le nombre en tenant compte des valeurs suivant le trait.
    • Si le chiffre qui suit est compris entre 1 et 4 (inclus), vous coupez le nombre d’origine après le trait sans changer quoi que ce soit.
    • Si ce chiffre est supérieur ou égal à 5, dans ce cas, vous devrez remplacer le dernier chiffre situé avant le trait par l’entier consécutif.
Remarque

Arrondir 5,45678 à l'unité

Le chiffre des unités est le premier « 5 » : 5,45678

Le chiffre qui suit est un 4 donc on « coupe » le nombre sans changer le chiffre des unités. Le nombre arrondi est donc : 5

Arrondir 456,45678 au centième

Le chiffre des centièmes est le suivant : 456,45678

Le chiffre qui suit est un 6 donc on « coupe » le nombre en remplaçant le 5 par son entier consécutif... à savoir 6.

On obtient le nombre arrondi suivant : 456,46

V | Multiple et diviseur d'un nombre

Définition

Définition d’un nombre multiple d’un autre nombre

Un nombre entier A est un multiple de B s’il existe un entier C tel que :

$A = B \times C$

Définition

Définition d’un nombre divisible par un autre nombre

Un nombre entier A est divisible par B s’il existe un entier C non nul tel que :

$A = \frac{B}{C}$

Propriété

A connaître par cœur !

Si un nombre A est divisible par un nombre B alors A est un multiple de B.

VI | Les nombres premiers

A) Définition

Définition

Définition d’un nombre premier

Nombre qui n’est divisible que par 1 et par lui-même.

Remarque

1 n’est pas considéré comme un nombre premier.

2 est le seul nombre premier pair.

À apprendre par cœur : la liste des nombres premiers jusqu’à 109

B) Une propriété essentielle des nombres

Propriété

Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 peut se décomposer en un produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique.

Exemple

84 se décompose de la manière suivante.

$84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7$

Avec 2, 3 et 7 qui sont des nombres premiers.

VII | Plus petit commun multiple d’un nombre

Définition

Définition du plus petit commun multiple d'un nombre

On appelle « plus petit commun multiple » de deux entiers naturels A et B, le plus petit entier naturel qui soit à la fois multiple de A et de B.

A retenir !

Méthode pour trouver le plus petit commun multiple

  1. Décomposez les deux nombres en produit de facteurs premiers.
  2. Sélectionnez les facteurs qui apparaissent au moins une fois dans les deux produits. Si ces facteurs apparaissent avec des exposants, attribuez-leur le plus grand exposant.
  3. Effectuez le produit de tous ces nombres.
Exemple

Exemple 1 : trouver le plus petit commun multiple aux nombres 84 et 148

$84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7$

$148 = 2 × 2 × 37 = 2² × 37$

Les facteurs communs aux deux décompositions sont 2, 3, 7 et 37. Dans le cas du facteur 2, on lui attribue le plus exposant à savoir $2^2$.

Le PPCM de 84 et 148 est donc : $2² × 3 × 7 × 37 = 3 108$

Exemple

Exemple 2 : trouver le plus petit commun multiple aux nombres 40 et 66

$40 = 2 × 2 × 2 × 5 = 2³ × 5$

$66 = 2 × 3 × 11$

Les facteurs communs aux deux nombres sont 2, 5, 3 et 11. Dans le cas du facteur 2, on lui attribue le plus exposant à savoir $2^3$.

Le PPCM de 40 et 66 est donc : $2³ × 3 × 5 × 11 = 1 320$

VIII | Plus grand commun diviseur d’un nombre

Définition

Définition du plus grand commun diviseur d’un nombre

On appelle « plus grand commun diviseur » de deux entiers naturels A et B, le plus grand entier naturel qui divise à la fois A et B.

A retenir !

Méthode pour trouver le plus grand commun diviseur

  1. Décomposez les deux nombres en produit de facteurs premiers.
  2. Sélectionnez les facteurs communs aux deux produits. Si ces facteurs apparaissent avec des exposants, attribuez-leur le plus petit exposant.
  3. Effectuez le produit de tous ces nombres.
Exemple

Trouver le plus grand commun diviseur aux nombres 40 et 70

$40 = 2 × 2 × 2 × 5 = 2³ × 5$

$70 = 2 × 5 × 7$

Les facteurs communs aux deux produits sont 2 et 5. Dans le cas du facteur 2, le plus petit exposant est $2^1 = 2$.

Le PGCD de 40 et 70 est donc : $2 × 5 = 10$

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